Minimierung von Funktionen mit mehreren Variablen Ungefähre numerische Methoden Monte-Carlo-Methode
1. Die Minimierung der Abhängigkeit von vielen Variablen ab.. Analytische Verfahren
Weierstraß-Satz: Sei - Satz von Funktionen auf einer kontinuierlichen geschlossenen beschränkte Menge. Wenn, erreicht dann ihren höchsten und niedrigsten Werte. Definition: Der Punkt der maximalen und minimalen Punkte Extrem genannt. Fermats letzter Satz: (eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremwert). Lassen Sie die Funktion - wird in der Nachbarschaft definiert. Wenn - ist der Punkt der Extremwert, und an diesem Punkt die partiellen Ableitungen, dann
(1)
Zusammenfassung: wenn - ein Extrempunkt, dann an dieser Stelle entweder durchgeführt Formel (1) oder das Derivat ist nicht definiert. Definition: Der Punkt, an dem die Bedingung (1), die so genannte Extrempunkte. Nun präsentieren hinreichende Bedingungen für die Existenz von Extrema der Funktionen mit mehreren Variablen. Dazu erinnern wir uns einige Fakten aus der Theorie der quadratischen Formen. Definition: die quadratische Form
(2) (3)
genannte positive (negative) bestimmte, wenn (jeweils) für alle zur Verfügung gestellt und verschwindet nur, wenn. Beispiel:
- positiv definite Form.- Ist das nicht positiv definit, aber, weil.- Negative-feste Form.
Definition: die quadratische Form, die sowohl positive als auch negative Werte werden als unbestimmte Form nimmt. Beispiel:
4) - unbefris quadratische Form
Jetzt können wir nun formulieren hinreichende Bedingungen für die Existenz von Extrema für die Funktion von vielen Variablen.. Satz: Sei und lassen einen kritischen Punkt der Funktion. Wenn die quadratische Form
(4)
(dh die zweite Differential einer Funktion an einem Punkt) positiv-definite (negativ-definite) quadratische Form, der Punkt - ein Punkt der Minimum (oder Maximum). Wenn die quadratische Form (4) nicht definiert ist, dann wird der Punkt - es gibt keinen Extremwert. Auf die Frage: wenn die quadratische Form positiv (oder negativ) definitive Antworten Sylvester Kriterium: Um quadratische Form (2) und (3) wurden positiv definite, notwendig und ausreichend ist, dass
(5)
Um die quadratische Form (2), (3) ein negativ definit ist, ist notwendig und hinreichend, dass
(6) (7)
Wie Sie sehen können, um Extrempunkte zu finden, müssen wir das System zu lösen im allgemeinen nicht-linearen Gleichungen (1) und die Art des Extrempunkt Bedarf auf der Basis des Sylvester-Kriterium, um die Bedingung zu überprüfen bestimmen (5), (6) und (7) für das differentielle quadratische Form (4) an der Stelle der Spitze. Wir veranschaulichen diese Methode zum Beispiel 5: Eine Funktion mit zwei Variablen:
(8)
Lösung: Finden Sie die kritischen Punkte:
(9)
was die kritischen Punkte ergibt: A (0, 0) ; In (3; 2). Wir untersuchen diese Punkte. Um dies zu tun, müssen wir in jedem dieser Punkte herausfinden, welche Art gehört zu der quadratischen Form:
(10) (11) (12) (13)
Am Punkt A (0, 0), haben wir
,
so, Bedingungen Sylvester Kriterium gilt nicht eine Antwort auf die Frage, ob der Extremwert an dieser Stelle ist. Um dieses Problem ist es notwendig, die höheren Derivate zu gewinnen und bildet eine höhere Ordnung, für die die entsprechende allgemeine Theorie noch, so dass Sie zu den numerischen Studien beziehen müssen zu lösen. Am Punkt B (3, 2) haben wir:

erhalten die Matrix der quadratischen Form:
.
dh Sylvester Kriterium B (3, 2) ist die maximale Punkt:.
2. Verfahren Gradientenabstieg
Wie wir aus der letzten Zahlenbeispiel gesehen haben, strengen Analyseverfahren nicht immer zum Ziel führt (der Fall, wenn der kritische Punkt ). In diesen und in komplexeren Fällen gelten verschiedene ungefähre analytische Techniken, die mathematisch bewiesen, etwas weniger stark, aber dennoch manchmal bis zu dem gewünschten Ergebnis. Zu diesen Verfahren zählen Methoden und Farbverlauf steilste...


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